Urodził się 20 września 1752 r. w Chodaczkowie koło Tarnopola. Kształcił się w kolegium pijarskim w Złoczowie, w 1766 r. wstąpił zaś do tego zgromadzenia zakonnego. Po odbyciu zakonnych studiów profesorskich w Podolińcu na Spiszu i kursu filozoficznego w Rzeszowie, odbył praktyki nauczycielskie, po których podjął pracę jako nauczyciel w Collegium Nobilium, będąc jednym z prekursorów w Polsce wykładania w ojczystym języku prawa natury, prawa narodów i ekonomii politycznej – w tej ostatniej dziedzinie popularyzował poglądy francuskich fizjokratów. W 1780 r. rozpoczął pracę w wileńskiej Szkole Głównej Wielkiego Księstwa Litewskiego (właśnie przekształcanej z Akademii Wileńskiej) – stanął tam na czele pierwszej w Rzeczpospolitej Katedry Prawa Natury i Ekonomii Politycznej. W czasie pobytu w Wilnie przystąpił do wolnomularstwa. Swe najważniejsze dzieło – Naukę prawa przyrodzonego, politycznego, ekonomiki politycznej i prawa narodów – opublikował w 1785 r. W 1790 r. wystąpił ze zgromadzenia pijarów i stał się kapłanem diecezjalnym. Wziął udział w pracach legislacyjnych Sejmu Czteroletniego, był także członkiem Komisji Edukacji Narodowej. Po upadku Rzeczpospolitej Stroynowski pozostał związany z wileńską uczelnią. W 1797 r. objął probostwo kościoła akademickiego św. Jana w Wilnie. W 1799 r. został rektorem Szkoły Głównej Wileńskiej, czyniąc starania, aby władze carskie nie przekształcały jej na modłę wzorów rosyjskich – w 1801 r. chcąc zapobiec przejęciu budynków uczelni przez działających z poparciem gubernatora wileńskiego jezuitów, wystosował apel do cara Pawła I o zablokowanie tych planów; został za to aresztowany na dwa tygodnie, ale śmierć władcy odsunęło groźbę likwidacji Szkoły w jej dotychczasowej postaci. Dzięki inicjatywie Adama Jerzego Czartoryskiego Stroynowski został włączony do prac nad reformą szkolnictwa w Rosji. Korzystając z poparcia wpływowego na dworze cara Aleksandra I Czartoryskiego, a także życzliwości samego monarchy, dbał o rozwój wileńskiej uczelni i prawa polskie w systemie oświatowym cesarstwa. W 1806 r. został biskupem i zrezygnował ze stanowiska rektora Uniwersytetu, gdzie jego rządy wzbudzały w ostatnich latach wiele kontrowersji (m.in. zarzucano mu faworyzowanie uczonych zagranicznych i księży). W 1808 r. został administratorem diecezji wileńskiej. Zarządzał ją jednak w znacznej mierze z Petersburga, gdzie często przebywał, co skutkowało brakiem należytej kontroli nad jej sprawami. W 1814 r. prekonizowano go na biskupstwo wileńskie, jednak ingres opóźnił się i Stroynowski już go nie doczekał. Zmarł 5 sierpnia 1815 r. w folwarku Czarci Kąt w pobliżu Wilna.